Bla-bla-bla...: Crezi ca stii mate?

63 = 64 = 65 (demonstratie cu arii)

63 = 64 = 65. Pare imposibil dar asa este. Poate aritmetic e mai greu de demonstrat insa lucrul asta se poate face foarte usor pe cale geometrica. Pentru aceasta demonstratie am ales un patrat de latura 8 (patratele) care, dupa cunostiintele mele, are aria egala cu 8 x 8 = 64.

Acest patrat l-am impartit in patru parti distincte dupa cum se poate vedea in figura alaturata. S-au format astfel 2 triunghuri si 2 trapeze dreptunghice pe care le-am colorat diferit pentru a va fi dvs mai usor sa urmariti firul demonstratiei. De asemeni am notat pe fiecare figura si dimensiunile acesteia. Recombinand apoi aceste piese (si bineinteles pastrand dimensiunile), ar fi trebuit sa obtin o noua figura de aceeasi arie 64 . M-am inselat insa.

Alaturat aveti 2 moduri in care am recombinat cele 4 figuri. Observati ca au aceleasi dimensiuni (am micsorat un pic dimensiunea patratelului de baza - din considerente de asezare in pagina, insa fiecarei figuri componente i-am acordat aceleasi numar de patratele) si totusi figurile rezultate au arii diferite. In primul caz am obtinut o figura (un dreptunghi) cu aria 5 x 13 = 65 iar in al doilea caz o figura cu aria 5 x 5 + 1 x 13 + 5 x 5 = 63. Va las pe dvs, ca in continuare sa gasiti raspunsul la aceasta egalitate .... inegala.

63/2 = 65/2

Am vazut mai sus ca 63=64 = 65. De data asta am sa va demonstrez ca 63/2 = 65/2. Demonstratia se face, ca si mai sus, tot cu ajutorul ariilor.

In figura alaturata, dupa cum puteti vedea, sunt 2 triunghiuri formate din aceleasi piese. Intr-adevar, piesele sunt asezate in alta ordine, dar asta nu ar trebui sa influenteze aria figurii, nu? Arie, care in cazul primului triunghi este (13 x 5)/2 iar in cazul celui de-al doilea triunghi .... mai mica cu 1!

Punctul negru din patratul alb ramas liber in triunghiul de jos marcheaza elementul de arie lipsa. Cum latura unui patrat am considerat-o unitara, aria acestuia este 1 si deci triunghiul de jos are aria mai mica!

1=0 (demonstratie algebrica)

Fie a = 1 si deci a - 1 = 0 (a este un numar intreg).

Atunci si a 2 - 1 = 0.

a - 1 = 0 si a 2 - 1 = 0 rezulta ca a - 1 = a 2 - 1

Egalitatea se transforma in a - 1 = (a - 1)(a + 1)

Simplificand obtinem 1 = a + 1 si deci a = 0 .

Dar am pornit de la ipoteza ca a = 1 si am ajuns la a = 0. Deci 1 = 0 .

1=-1 (demonstratie cu radicali)

deci 1 = -1

1=-1 (demonstratie cu algoritmi)

Pornim de la un adevăr matematic : (-1)² = 1

Logaritmăm în baza 10: lg((-1)²) = lg (1) (da! este posibil).

Amintiti-vă din liceu că : lg (ab)= b.lg(a)

Aplicând deci această proprietate ecuatiei de mai sus obtinem : lg(-1²) = 2 lg(-1).

Inlocuind în prima ecuatie obtinem: 2 lg(-1) = lg(1)

Dar lg(1) = 0, ceea ce este echivalent cu 2 lg(-1) = 0

Impărtind la 2, obtinem: lg(-1) = 0

Din definitia logaritmului stiim ca dacă lg(a) = b, atunci 10 b = a.

Deci, deoarece lg(-1) = 0, rezulta 10⁰ = -1.

Dar 10⁰ = 1. Deci, 1 = -1

2=1 (demonstratie simpla)

a = 1 (ipoteza initială)

De asemeni : a = a si deci a 2 =a 2 . Atunci a 2 - a 2 = a 2 - a 2

(a + a)(a - a) = a (a - a)
simplificând obtinem a + a = a

1 + 1 = 1 si deci 2 = 1

2=1

x=y (ipoteza initială)

Deci x-y=0; inmultim cu 2 => 2(x-y)=0.
Dar 0=x-y asa ca 2(x-y)=x-y

Impartind ecuatia de mai sus cu x-y obtinem 2 = 1

Un ... paradox

Exista un joc ce se cheama Tangram, un fel de Lego, in care sunt date tot felul de piese, de toate formele, marimile si culorile si cu care se pot face, cu un pic de imaginatie, tot felul de figuri interesante.

O astfel de figura este si cea din dreapta, figura ce, desi este constuita din aceleasi piese, pare a avea arie diferita daca piesele sunt aranjate altfel.

Mai precis, a doua figura are aceeasi palarie, acelasi cap, aceleasi brate, acelasi corp (ca arie) dar pare a mai avea un picior in plus .... Puteti spune dvs de unde apare acel picior?

Un ... paradox ... reloaded :D

Din nou o problema de aranjare a acelorasi piese.
Desi patratul din stanga este complet, am schimbat putin pozitia pieselor si am adaugat si patratelul mic din dreapta lui, rezultand ... aceeasi figura!
Va las pe dvs sa descoperiti trucul aceastui ... paradox.